Integralregning

Infinitesimalregningens fundamentalsætning

Når man snakker om bestemte integraler kan man ikke undgå at tale om infinitesimalregningens fundamentalsætning (TIP: Hvis du skal til mundtlig prøve så prøv at øv dig i at sige "infinitesimalregning").

Infinitesimalregningens fundamentalsætning er bare en fancy måde at sige \(\int_{a}^{b} f(x) \,dx=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)\). Det er nemt nok at følge denne regel, det var det vi gjorde ovenover da vi skulle udregne bestemte integraler, men det er straks sværere at bevise:

1. Tegn en funktion

2. Indtegn to rektangler i funktionen, den ene skal være indeni funktionen og den anden over

Areal mellem grafer

Hvis man ville finde arealet mellem to grafer. F.eks: \(f(x)=2x^2+x-3\) og \(g(x)=5x^7-5x^3+3x+2\) imellem -1 (-2) og 1.

Kan man minus integrallet af den øverste med den nederste:

$$A=\int_{a}^{b} f(x) \,dx+\int_{a}^{b} g(x) \,dx$$

Som er det samme som:

$$A=\int_{a}^{b} f(x)-g(x) \,dx$$

Det betyder altså at arealet mellem \(f(x)\) og \(g(x)\) præsenteret tidligere ville se således ud i et integral:

TIP: Husk at putte parentes rundt om minimum den sidste funktion så du ikke glemmer at vende nogen fortegn. Man kan også for nemheds skyld putte parentes rundt om begge.

$$A=\int_{-1}^{1}(2x^2+x-3) -(5x^7-5x^3+3x+2) \,dx$$

Og simplificere:

$$A=\int_{-1}^{1}2x^2 -5x^7+5x^3-2x-5 \,dx$$

Og så kan vi regne integrallet ud:

$$A=\int_{-1}^{1}2x^2 -5x^7+5x^3-2x-5 \,dx=-8,667$$

Et areal kan ikke være minus, som betyder at f(x) lå under g(x). Vi skal dog bare vende fortegnet for at det bliver rigtigt.