Differentialregning

Hvordan differentiere man?

Når man skal differentiere bruger man tretrinsreglen som er følgende:

1. Indsæt funktionen i \(a=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)
2. Simplificer så næste step er nemmere f.eks. at gøre så \(\Delta x\) ikke står i nævner på alt.
3. Find "grænseværdien når \(\Delta x\) går mod nul

Et eksempel kunne være hvis man ville differentiere \(x^2\)

1. Indsætter funktionen \(x^2\)

$$a=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{a*(x+\Delta x)^2-ax^2}{\Delta x}$$

2. Simplificere

$$\frac{a*(x+\Delta x)^2-ax^2}{\Delta x}$$

Og bruger kvadretsætningerne til at udregne potensen:

$$\frac{a*(x*2+\Delta x*2+2*\Delta x*x)-ax^2}{\Delta x}$$

Og ganger a ind i parantes:

$$\frac{a*x*2+a*\Delta x*2+a*2*\Delta x*x-ax^2}{\Delta x}$$

Og dividere nævneren op i alle ledene:

$$a*\Delta x+a*2*x$$

3. Bestemmelse af grænseværdien

$$\lim_{\Delta x \to 0} a*\Delta x+a*2*x=2*a*x$$

Det betyder altså at når man differentiere funktionen \(f(x)=x^2\) får man \(f'(x)=2x\)

Hvilke regneregler er der for differentialregning?

Der er mange regneregler for differentialregning, og regnereglerne er nemmere og hurtigere at bruge en tretinsreglen, som vi brugte før. Alle er dog enten udledt fra hinanden eller i sidste ende tretrinsreglen.

Hvordan finder man tangentens ligning?

Når man skal finde tangentens ligning, skal man gøre det samme som man gjorde i grundforløbet i 1g, nemlig finde den rette linje ud fra et punkt og en hældning:

$$y=a(x-x_0)+y_0$$

Lad os prøve det med et eksempel:

Vi får angivet hældningen \(a=-2\) og punktet \(P(3;5)\)

Og indsætter i vores formel:

$$y=(-2)*(x-3)+5$$

Og forkorter:

$$y=-2x+6+5$$

$$y=-2x+11$$

Og kontrollere:

Kontrol

Så tangentens ligning må være \(y=-2x+11\)

Men man får tit ikke bare a givet, men udelukkende \(f(x)\) og x, hvor man ville bruge følgende formel:
$$t(x)=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)$$

Med følgende trin:

1. Bestem punktet på funktionen \(x_0;f(x_0)\)
2. Differentier \(f\)
3. Bestem hældning i \(x_0\) ved hjælp af \(f'(x_0)\)
4. Indsæt i tangentens ligning: \(t(x)=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)\)
5. Kontroller på tegning (GeoGebra og Graph kan finde tangentens ligning)

Så hvis vi f.eks. har funktionen \(f(x)=-1/2x^2+3x+2\) og skal finde tangentens ligning i \(x_0=2\) skal man gøre således:
Man starter med at finde \(P(x_0;f(x_0))\):

$$f(2)=-1/2*2^2+3*2+2=6$$

$$P(2;6)$$
Og differentiere \(f(x)\):

$$f'(x)=-x+3$$

Og bestemmer \(f'(x_0)\):

$$f'(2)=-2+3=1$$

Og indsætter i \(t(x)=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)\):

$$t(x)=1*(x-2)+6$$

Og forkorter:

$$t(x)=x+4$$

Og kontrollere i GeoGebra:

Kontrol i GeoGebra

Kontrol i GeoGebra giver det samme.

Hvordan finder man en funktion ud fra hældninger og punkter

Normalvis når man skal finde en funktionsforskrift ville man kun få nogen punkter. Her kan man bare opstille x ligninger med x ubekendte.

Et eksempel kunne være hvor vi skulle finde en andengradsligning med følgende punkter:

$$A=(-5;23)$$

$$B=(4;41)$$

$$C=(7;119)$$

Og vi ved at den generelle formel for en andengradsligning er følgende:

$$f(x)=ax^2+bx+c$$

Så nu skal vi bare erstatte de kendte variabler i hvert punkt (altså x og y) således:

$$a*(-5)^2+b*(-5)+c=23$$

$$a*4^2+b*4+c=41$$

$$a*7^2+b*7+c=119$$

Det her er så et ligningssystem man kan løse i hånden sådan eller bruge Maple, som her:

Maples løsning af et ligningssystem

Og indsætter i \(ax^2+bx+c\):

$$f(x)=2x^2+4x-7$$

Men lad os sige at du får nogen punkter og nogen hældninger.

Her kan vi så hvis vi igen har en andengradsligning differentiere den generelle formel for en andengradsligning:

$$f'(x)=2*a*x+b$$

Et eksempel her kunne så være at vi fik følgende oplysninger:

$$A=(2;-1)$$

Hældning er 0 når x er 4 og hældningen er 1 når x er 6.

Det kan man også i en opgave skrive som følgende:

Så punktet A er:

$$f(2)=-1$$

Og hældningerne er:

$$f'(4)=0$$

$$f'(6)=1$$

Og nu skal vi opsætte ligningssystemet:

$$a*2^2+b*2+c=-1$$

$$2*a*4+b=0$$

$$2*a*6+b=1$$

Maples løsning af et ligningssystem

Og indsætter i \(ax^2+bx+c\):

$$f(x)=\frac{1}{4}x^2-2x+2$$

Så altså hvis man skal lave en step by step guide til hvordan man gør, kunne den se sådan ud:

1. Opstil punkter
2. Indsæt kendte variabler i de generelle forskrifter
3. Differentier den generelle forskrift og indsæt hældninger
4. Opstil ligningssystemet og løs.
5. Giv dig selv et klap på skulderen