Vektorer

Hvad er en vektor?

En vektor er bare en pil med en længde og en retning. De findes i kartesiske/rektangulære koordinater og polære og kan være i 2 dimensioner som denne:

$$\vec{a}=\begin{pmatrix} 3 \\ 21 \end{pmatrix}$$

Eller i 5 dimensioner som denne:

$$\vec{b}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \\ 2 \\ 49 \end{pmatrix}$$

Hvad er en stedvektor?

En stedvektor er en vektor som starter ved origo (nulpunktet). Man skal også huske at når man f.eks. skal bestemme vinkler mellem vektorer så kan man forestille sig at den er lavet til to vektorer som begge kommer af et punkt. De behøves dog ikke at være en stedvektor, de skal nemlig bare komme fra samme startpunkt.

Hvad er forskellen på koordinaterne?

Kort sagt er de kartesiske hvor vi kan forestille os vi går x ud og derefter y op angivet i vektoren som dette:

$$\vec{c}=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

Imens man i de polære kun for at vide hvilken retning pilen drejer i (graderne) og hvor lang vektoren er som dette:

$$\vec{d}=længde \angle vinkel$$

Regning med vektorer.

Hvordan plusser og minusser man vektorer?

Hvis man ville plusse to vektorer sammen skal man plusse den første række med den første række og den anden række med den række osv. Som kan ses i dette eksempel, hvor vi plusser vektorer a og b med hinanden for at få vektoren c:
$$\vec{a}=\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix}$$

$$\vec{b}=\begin{pmatrix} 3 \\ 11 \end{pmatrix}$$

$$\vec{c}=\vec{a} + \vec{b}= \begin{pmatrix} 7+3 \\ 1+11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 12 \end{pmatrix}$$

Det samme gælder når man skal minus vektorer. Når man skal plusse vektorer kan man også kalde det at finde produktet af de to vektorer og ved minus differencen.

Hvordan finder man længden af en vektor med kartesiske koordinater?

Når man skal finde længden af en vektor med kartesiske koordinater, skal man bruge noget som selv folkeskole elever er velkendt med. Nemlig Pythagoras. Man skal bare også huske at putte "|" rundt om vektoren, som viser at det er længden af vektoren man har fundet. Her er et regneeksempel:

$$\vec{a}=\begin{pmatrix} 2 \\ 9 \end{pmatrix}$$

$$|\vec{a}|=\sqrt{2^2+9^2}\approx 9,22$$

Altså kan man generalt skrive formlen for længden af en vektor:

$$\vec{u}=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

$$|\vec{u}|=\sqrt{x^2+y^2}$$

Hvordan vender man en vektor om?

Hvis man har lyst til at vende en vektor om. Som jeg kun tror få har så skifter man fortegnet på koordinaterne eller ganger med -1. Her er et regneeksempel:

$$\vec{a}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2\end{pmatrix}$$

Hvis man så vender den om:

$$\vec{a}=\begin{pmatrix} -1*-1 \\ 2*-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2\end{pmatrix}$$

Yubiii! Nu er den vendt om!

Hvad er skalarproduktet og hvordan finder man det?

Skalarproduktet er noget som man bruger når man ville finde et estimat på vinklen mellem to vektorer.

Når man skal finde skalarproduktet starter man med at gange den første række i to vektorer sammen og derefter anden osv. Derefter plusser man de to sammen og så kan man finde et estimat på vinklen mellem vektorerne med følgende regler:

Vinklen er spids hvis:

$$\vec{a} \cdot \vec{b}>0$$

Og vinklen er retvinklet hvis:

$$\vec{a} \cdot \vec{b}=0$$

Og vinklen er stump hvis:

$$\vec{a} \cdot \vec{b}<0$$

Her er et regneeksempel, hvor vi finder skalarproduktet af vektorer d og u.

$$\vec{d}=\begin{pmatrix} 0,5 \\ 0 \end{pmatrix}$$

$$\vec{u}=\begin{pmatrix} 125 \\ 83 \end{pmatrix}$$

$$\vec{d}\cdot\vec{u}=\begin{pmatrix} 0,5*125 \\ 0*83 \end{pmatrix}=0,5*125+0*83=62,5$$

Dermed kan vi konkludere at vinklen mellem vektorer d og u er stump.

Hvordan finder man vinklen mellem vektorer?

Hvis man ville finde vinklen mellem vektorer skal man isolere vinklen v i følgende formel:

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|*|\vec{b}|*cos(v)$$

Eller:

$$v=\cos^{-1}{\left(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}\right)}$$