Ligningssystemer

Hvad er et ligningssystem?

Et ligningssystem er basically hvor man har flere ligninger og man så skal finde værdien for nogle variabler. Et ligningssystem kunne være:

$$3x+6y=33$$

$$x-3y=-4$$

Her ville x så være lig med 5 og y 3.

Hvordan løser man et ligningssystem?

Der findes mange metoder til at løse et ligningssystem og der er ingen som er bedre end andre. Man kan dog stadig sige at nogle kan anvendes bedre i bestemte situationer. Lidt ligesom at en saks beregnet til venstrehåndede er lige så god som en til højrehåndet. Dog kan det anbefales man bruger den venstrehånden hvis man er venstrehåndet og den højrehåndet hvis man er højrehåndet. Det samme kan siges om metoder til at løse ligningssystemer. En ting alle har til fælles er dog alle prøver generelt set bare at reducere antal variabler.

Substitutionsmetoden

Substitutionsmetoden er et fancy navn for en metode man bruger til at løse ligningssystemer med. Det betyder bare at man isolere hvad man ville finde løsningen til.

Et eksempel kunne være ligningssystemet i starten hvor:

$$3x+6y=33$$

$$x-3y=-4$$

Der ville man med substitutionsmetoden isolere så man har x'ets værdi og derefter indsætte den i den anden ligning. Eller omvendt med y. Et eksempel kan ses nedenunder:

$$3x+6y=33$$

$$3x=33-6y$$

$$x=\frac{33-6y}{3}$$

Og derefter putter vi dette ind i den anden ligning i stedet for x.

$$\frac{33-6y}{3}-3y=-4$$

Nu har vi kun et variabel, y, som vi kan finde værdien af.

$$\frac{33-6y}{3}=-4+3y$$

$$33-6y=(-4+3y)*3$$

$$0=9y-12-33+6y$$

$$15y=45$$

$$\frac{15y}{15}=\frac{45}{15}$$

$$y=3$$

Lige store koefficienters metode

Lige store koefficienters metode er endnu en metode til at løse ligningssystemer med. Det er bare hvor man fjerner et variabel ved at minus eller plusse. F.eks hvis vi har to ligninger:
$$4x+3y=45$$

$$4x+y=31$$

Så kan vi bare minus den anden ligning med den første eller omvendt, så vi kun har et variabel.

$$4x+3y=45$$

$$4x+y=31$$

$$------------------$$

$$0x+2y=14$$

Her kan vi så fjerne x fordi der er lige præcis 0x. Så nu hedder den altså:

$$2y=14$$

Og nu kan vi bare isolere y, ved at dividere med 2:

$$y=7$$

Med eksemplet i starten, som vi også brugte som eksempel til substitutionsmetoden ville det sådan her ud:

$$3x+6y=33$$

$$x-3y=-4$$

Vi starter med at gange alting med 3 i den nederste ligning.

$$3x-9y=-12$$

Derefter trækker vi den anden ligning fra.

$$3x-9y=-12$$

$$3x+6y=33$$

$$------------------$$

$$-15y=-45$$

$$\frac{-15y}{-15}=\frac{-45}{-15}$$

$$y=3$$