Integralregning

Infinitesimalregningens fundamentalsætning

Når man snakker om bestemte integraler kan man ikke undgå at tale om infinitesimalregningens fundamentalsætning (TIP: Hvis du skal til mundtlig prøve så prøv at øv dig i at sige "infinitesimalregning").

Infinitesimalregningens fundamentalsætning er bare en fancy måde at sige $\int_{a}^{b} f(x) \,dx=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$. Det er nemt nok at følge denne regel, det var det vi gjorde ovenover da vi skulle udregne bestemte integraler, men det er straks sværere at bevise:

1. Tegn en funktion
2. Indtegn to rektangler i funktionen, den ene skal være indeni funktionen og den anden over

Areal mellem grafer

Hvis man ville finde arealet mellem to grafer. F.eks: $f(x)=2x^2+x-3$ og $g(x)=5x^7-5x^3+3x+2$ imellem -1 (-2) og 1.

Kan man minus integrallet af den øverste med den nederste:

$$A=\int_{a}^{b} f(x) \,dx+\int_{a}^{b} g(x) \,dx$$

Som er det samme som:

$$A=\int_{a}^{b} f(x)-g(x) \,dx$$

Det betyder altså at arealet mellem $f(x)$ og $g(x)$ præsenteret tidligere ville se således ud i et integral:

TIP: Husk at putte parentes rundt om minimum den sidste funktion så du ikke glemmer at vende nogen fortegn. Man kan også for nemheds skyld putte parentes rundt om begge.

$$A=\int_{-1}^{1}(2x^2+x-3) -(5x^7-5x^3+3x+2) \,dx$$

Og simplificere:

$$A=\int_{-1}^{1}2x^2 -5x^7+5x^3-2x-5 \,dx$$

Og så kan vi regne integrallet ud:

$$A=\int_{-1}^{1}2x^2 -5x^7+5x^3-2x-5 \,dx=-8,667$$

Et areal kan ikke være minus, som betyder at f(x) lå under g(x). Vi skal dog bare vende fortegnet for at det bliver rigtigt.

Sammensatte funktioner (Integration ved substitution)

Ubestemte integraler

Når man har en sammensat funktion såsom $cos(2x+4)$ og man prøver at finde det ubestemte integral, kan det være svært:

$$\int cos(2x+4) dx = ???$$

Derfor erstatter man den indre funktion med et variabel. Normalt bruger jeg $t$.

Så nu ville integralet se således ud:

$$\int cos(t) dx$$

hvor $t=2x+4$

Men det er noget volapyk fordi, vi skal integrere i forhold til t og ikke x. Da der ikke nogen steder i integrallet står et x, men der står et t. Der skal altså stå dt og IKKE dx.

For at gøre dette benytter vi os af at $t=2x+4$, som vi kan differentere med x (som er hvorfor vi også skriver dt/dx, da man også differentiere t med x):

$$\frac{dt}{dx}=2$$

Og så skal vi isolere dx, så vi senere kan erstatte dx i integrallet vi så i starten:

$$dt=2*dx$$ $$dx=\frac{1}{2}dt$$

Og indsætter, det vi fandt dx er lig med i stedet for dx i det første integral:

$$\int cos(t) \frac{1}{2}dt$$

Og udregner:

$$\int \frac{1}{2} cos(t) dt = \frac{1}{2} sin(t)$$

Og indsætter $t=2x+4$:

$$\frac{1}{2} sin(t)=\frac{1}{2} sin(2x+4)$$

Hurra!!! 🎉

Nu kan vi opskrive vores fremgangsmåde:

1. Du finder den indre og ydre funktion i den sammensatte $y(i(x))$ og erstatter den indre funktion med et variabel, f.eks. t.
2. Du differentierer den indre funktion med hensyn til x, og isolerer dx (husk at siden med variablet, f.eks. t, hedder $\frac{dt}{dx}$ efter at differentere med hensyn til x)
3. Erstat dx i det oprindelige integral med det du fandt i punkt 2.
4. Integrer i forhold til t.
5. Erstat t med den indre funktion igen.

Bestemte integraler

Når man har bestemte integraler kan man også bruge integration via substitution.

Lad os tage følgende eksempel:

$$\int_{1}^{2} ln(2x+9) dx$$

Her ville vi så starte med at gøre det samme som vi gjorde ovenover, med det ubestemte integral:

1. Du finder den indre og ydre funktion i den sammensatte $y(i(x))$ og erstatter den indre funktion med et variabel, f.eks. t.

Den indre funktion er $2x+9$ og den ydre er ln(x).

Nu kan vi så erstatte den indre funktion med et variabel, f.eks. t:

$$\int_{1}^{2} ln(t) dx$$

2. Du differentierer den indre funktion med hensyn til x, og isolerer dx (husk at siden med variablet, f.eks. t, hedder $\frac{dt}{dx}$ efter at differentere med hensyn til x)

Jeg opstiller funktionen:

$$t=2x+9$$

Og differentere med hensyn til x:

$$\frac{dt}{dx}=2$$

Og isolere dx:

$$dt=2*dx$$ $$dx=\frac{1}{2}dt$$

3. Erstat dx i det oprindelige integral med det du fandt i punkt 2.

Jeg erstatter dx i det oprindelige integral, med definitionen af dx vi fandt i punkt 2:

$$\int_{1}^{2} ln(t) \frac{1}{2} dt$$

Efter punkt 3 skal vi så sætte den nedre og den øvre grænse ind i den indre funktion og erstatter dem med hvad det giver:

$$t_a=i(a)$$ $$t_a=2*1+9=11$$ $$t_b=2*2+9=13$$

Og indsætter i integrallets grænser:

$$\int_{11}^{13} ln(t) \frac{1}{2} dt$$

Og løser:

$$\int_{11}^{13} ln(t) \frac{1}{2} dt = [ln(t)]_{11}^{13} = (ln(13))-(ln(11))= 0,167$$

Hurra!!! 🎉

Nu kan vi opstille fremgangsmåden hvis vi har det bestemte integral $\int_{a}^{b} y(i(x)) dx$

1. Du finder den indre og ydre funktion i den sammensatte $y(i(x))$ og erstatter den indre funktion med et variabel, f.eks. t.
2. Du differentierer den indre funktion med hensyn til x, og isolerer dx (husk at siden med variablet, f.eks. t, hedder $\frac{dt}{dx}$ efter at differentere med hensyn til x)
3. Erstat dx i det oprindelige integral med det du fandt i punkt 2.
4. Find grænserne $t_a$ og $t_b$, ved at indsætte a værdien og b værdien i den indre funktion.
5. Løs det bestemte integral