Differentialligninger

Løsning af differentialligninger

Separation af variable

Man kan finde løsninger til differentialligninger ved at putte x'erne på den ene side af ligetegnet og y'er på den anden side. Lad os tage følgende differentialligning som eksempel, hvor k er en givet tal:

$$y'=k*y$$

Her starter vi med at omskrive y' til $dy/dx$:

$$dy/dx = k*y$$

Derefter kan vi gange med dx på begge sider:

$$dy=k*y*dx$$

Og rykke y på den anden side (her skriver vi 1/y, da det gør næste step nemmere):

$$1/y*dy = k*dx$$

Og derefter kan vi integrere på begge sider:

$$\int{1/y}dy=\int{k}dx$$

Og vi løser:

$$ln(y)+c_1=k*x+c_2$$

Det er to forskellige konstanter, da det er to forskellige integraler. Men da de begge ikke er ganget med noget og bare er konstanter, kan vi samle dem til en konstant. Lad os kalde denne for c:

$$ln(y)=k*x+c$$

Og herefter isolere vi y:

$$y=e^{k*x+c}$$

Og vi kan simplificere det yderligere med følgende potensregneregel:

$$a^{p+q}=a^p + a^q$$

Så:

$$y=e^{k*x}+e^c$$

Og $e^c$ er en kontant, da der er ingen x'er eller y'er i det led kan vi bare kalde den for c eller $c_1$:

$$y=e^{k*x}+c_1$$

Den generelle metode er altså:

1. Omskriv differentieret variabel til dy/dx eller hvillke variabler der nu måtte bruges.
2. Seperer variabler på hver sin side
3. Integrer variabler
4. Isoler ønsket variabel